miro1510
03-21-2022, 07:45
Mới đây, 1 bài toán được cho là 3.500 tuổi từ thời Ai Cập cổ đại đă có lời giải đáp nhờ vào toán học hiện đại.
https://photo-baomoi.zadn.vn/w700_r1/2022_03_21_23_420808 36/6f61651deb5f02015b4e .jpg
Nội dung bài toán được phát biểu đơn giản như sau : cho trước một tập hợp gồm các số nguyên dương, hỏi từ tập hợp này có thể chọn ra các phần tử có tổng nghịch đảo bằng 1 được hay không?
Bài toán 3500 tuổi này có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại và trong một bài báo của ḿnh, nhà toán học Thomas Bloom đă giải quyết trọn vẹn bài toán này. Một phiên bản của bài toán này cũng được hai nhà toán học Erdős và Graham đặt ra và trao thưởng 500 USD cho ai giải được nó.
Bài toán đó được đưa phát biểu như sau “Nếu tập A là tập con của tập N và A có mật độ dương, th́ tồn tại một tập con hữu hạn S của A mà tổng nghịch đảo các phần tử của nó bằng 1”. (Một ví dụ về tập con của N có mật độ dương là A = {3,5,7,9,11,...}, có thể hiểu nôm na là khi ta lấy một lượng đủ lớn các số tự nhiên liên tiếp th́ xác suất để tồn tại một số thuộc vào A là khác 0).
https://photo-baomoi.zadn.vn/w700_r1/2022_03_21_23_420808 36/4c9e4ae2c4a02dfe74b1 .jpg
Andrew Granville, một nhà toán học đến từ Đại học Montreal, nói trong Tạp chí Quanta : “Tôi chỉ nghĩ đây là một câu hỏi bất khả thi mà không ai có thể giải được. Tôi không thấy bất kỳ công cụ rơ ràng nào có thể giải quyết nó". Tuy nhiên, Bloom t́nh cờ đă t́m ra đáp án nhờ vào một bài báo có từ 20 năm trước trong Biên niên sử Toán học năm 2003 mà tác giả của nó là nhà toán học Ernie Croot.
https://photo-baomoi.zadn.vn/w700_r1/2022_03_21_23_420808 36/b0b7b2cb3c89d5d78c98 .jpg
Những ǵ Croot đă giải được gọi là “phiên bản tô màu” của bài toán Erdős – Graham. Nó được gọi như vậy bởi v́ nó liên quan đến các tập con “tô màu” - về cơ bản, có thể coi nó giống như việc phân chia tập A bằng cách bỏ các phần tử của A vào một số hữu hạn các hộp có màu khác nhau.
https://photo-baomoi.zadn.vn/w700_r1/2022_03_21_23_420808 36/124812349c7675282c67 .jpg
Nhà toán học Giorgis Petridis từ Đại học Georgia nói với Quanta: “Ư tưởng mả Croot đưa ra rất tuyệt vời. Tuy nhiên, nó đ̣i hỏi sự sáng tạo, khéo léo với các kỹ thuật tính toán cao” Petridis chia sẻ.
Ngoài ra, có một sự khác biệt rằng trong bài toán tô màu là, toàn bộ tập hợp A đă được chia thành các hộp. Bạn không biết chính xác nó được phân chia như thế nào, nhưng điều đó không thực sự quan trọng - tất cả những ǵ bạn cần chỉ ra là có một hộp chứa các con số đủ đẹp để tính tổng. Croot đă xây dựng bằng chứng để chỉ ra rằng sẽ có ít nhất một hộp có đủ những con số đẹp thỏa măn định lư.
Nhưng phép chứng minh của Croot không giải được phiên bản trù mật của bài toán đă nói ở trên. Bloom đă vận dụng tốt những ư tưởng của Croot để giải quyết trọn vẹn bài toán. "Tôi nghĩ, phương pháp của Croot [thực sự] mạnh hơn so với tưởng tượng. V́ vậy, tôi đă dành ra vài tuần và t́m ra đáp án cho bài toán này" - Ông nói.
Bloom cho rằng Croot đă chứng minh được một trường hợp đặc biệt của bài toán này. Tất cả những ǵ Bloom phải làm là chỉ ra rằng kết quả sẽ giống nhau khi chứng minh các trường hợp c̣n lại và phiên bản trù mật của bài toán sẽ được giải quyết hoàn toàn.
Các phương pháp mà Bloom sử dụng thực sự là “một phiên bản nâng cấp” của những ư tưởng do Croot đề ra. Ư tưởng của Bloom là thay v́ t́m ra các số có tổng nghịch đảo bằng 1 th́ lại t́m ra các nhóm số có tổng nhỏ hơn, sau đó cộng lại bằng 1. “Ví dụ nếu ta t́m được ba nhóm mà tổng nghịch đảo các số của mỗi nhóm bằng ⅓ theo cách khác nhau, th́ chỉ cần cộng chúng với nhau th́ ta có kết quả là 1” - Bloom nói với tờ Quanta.
Với chứng minh của ḿnh, Bloom đă giải quyết được một câu hỏi có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại. Tuy nhiên, không dừng ở đây, Bloom đặt ra một câu hỏi mới và tiếp tục đi t́m chứng minh: đối với tập A ⊂ N nào th́ không thể t́m được tập con của A có tổng nghịch đảo các phần tử bằng 1?
https://photo-baomoi.zadn.vn/w700_r1/2022_03_21_23_420808 36/6f61651deb5f02015b4e .jpg
Nội dung bài toán được phát biểu đơn giản như sau : cho trước một tập hợp gồm các số nguyên dương, hỏi từ tập hợp này có thể chọn ra các phần tử có tổng nghịch đảo bằng 1 được hay không?
Bài toán 3500 tuổi này có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại và trong một bài báo của ḿnh, nhà toán học Thomas Bloom đă giải quyết trọn vẹn bài toán này. Một phiên bản của bài toán này cũng được hai nhà toán học Erdős và Graham đặt ra và trao thưởng 500 USD cho ai giải được nó.
Bài toán đó được đưa phát biểu như sau “Nếu tập A là tập con của tập N và A có mật độ dương, th́ tồn tại một tập con hữu hạn S của A mà tổng nghịch đảo các phần tử của nó bằng 1”. (Một ví dụ về tập con của N có mật độ dương là A = {3,5,7,9,11,...}, có thể hiểu nôm na là khi ta lấy một lượng đủ lớn các số tự nhiên liên tiếp th́ xác suất để tồn tại một số thuộc vào A là khác 0).
https://photo-baomoi.zadn.vn/w700_r1/2022_03_21_23_420808 36/4c9e4ae2c4a02dfe74b1 .jpg
Andrew Granville, một nhà toán học đến từ Đại học Montreal, nói trong Tạp chí Quanta : “Tôi chỉ nghĩ đây là một câu hỏi bất khả thi mà không ai có thể giải được. Tôi không thấy bất kỳ công cụ rơ ràng nào có thể giải quyết nó". Tuy nhiên, Bloom t́nh cờ đă t́m ra đáp án nhờ vào một bài báo có từ 20 năm trước trong Biên niên sử Toán học năm 2003 mà tác giả của nó là nhà toán học Ernie Croot.
https://photo-baomoi.zadn.vn/w700_r1/2022_03_21_23_420808 36/b0b7b2cb3c89d5d78c98 .jpg
Những ǵ Croot đă giải được gọi là “phiên bản tô màu” của bài toán Erdős – Graham. Nó được gọi như vậy bởi v́ nó liên quan đến các tập con “tô màu” - về cơ bản, có thể coi nó giống như việc phân chia tập A bằng cách bỏ các phần tử của A vào một số hữu hạn các hộp có màu khác nhau.
https://photo-baomoi.zadn.vn/w700_r1/2022_03_21_23_420808 36/124812349c7675282c67 .jpg
Nhà toán học Giorgis Petridis từ Đại học Georgia nói với Quanta: “Ư tưởng mả Croot đưa ra rất tuyệt vời. Tuy nhiên, nó đ̣i hỏi sự sáng tạo, khéo léo với các kỹ thuật tính toán cao” Petridis chia sẻ.
Ngoài ra, có một sự khác biệt rằng trong bài toán tô màu là, toàn bộ tập hợp A đă được chia thành các hộp. Bạn không biết chính xác nó được phân chia như thế nào, nhưng điều đó không thực sự quan trọng - tất cả những ǵ bạn cần chỉ ra là có một hộp chứa các con số đủ đẹp để tính tổng. Croot đă xây dựng bằng chứng để chỉ ra rằng sẽ có ít nhất một hộp có đủ những con số đẹp thỏa măn định lư.
Nhưng phép chứng minh của Croot không giải được phiên bản trù mật của bài toán đă nói ở trên. Bloom đă vận dụng tốt những ư tưởng của Croot để giải quyết trọn vẹn bài toán. "Tôi nghĩ, phương pháp của Croot [thực sự] mạnh hơn so với tưởng tượng. V́ vậy, tôi đă dành ra vài tuần và t́m ra đáp án cho bài toán này" - Ông nói.
Bloom cho rằng Croot đă chứng minh được một trường hợp đặc biệt của bài toán này. Tất cả những ǵ Bloom phải làm là chỉ ra rằng kết quả sẽ giống nhau khi chứng minh các trường hợp c̣n lại và phiên bản trù mật của bài toán sẽ được giải quyết hoàn toàn.
Các phương pháp mà Bloom sử dụng thực sự là “một phiên bản nâng cấp” của những ư tưởng do Croot đề ra. Ư tưởng của Bloom là thay v́ t́m ra các số có tổng nghịch đảo bằng 1 th́ lại t́m ra các nhóm số có tổng nhỏ hơn, sau đó cộng lại bằng 1. “Ví dụ nếu ta t́m được ba nhóm mà tổng nghịch đảo các số của mỗi nhóm bằng ⅓ theo cách khác nhau, th́ chỉ cần cộng chúng với nhau th́ ta có kết quả là 1” - Bloom nói với tờ Quanta.
Với chứng minh của ḿnh, Bloom đă giải quyết được một câu hỏi có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại. Tuy nhiên, không dừng ở đây, Bloom đặt ra một câu hỏi mới và tiếp tục đi t́m chứng minh: đối với tập A ⊂ N nào th́ không thể t́m được tập con của A có tổng nghịch đảo các phần tử bằng 1?