TinNhanh247
03-31-2022, 05:31
"Đây có thể là bài toán lâu đời nhất trong lịch sử nhân loại".
Có thể bạn đă biết, khoảng 2000 năm Trước Công Nguyên, người Ai Cập cổ đại là những người đầu tiên sử dụng khái niệm phân số. Họ kư hiệu nó bằng một chữ cái tượng h́nh, giống một con mắt không có tṛng. Ví dụ như:
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-1-16486597457227865381 81.png
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-1-16486597474534097611 29.jpeg
Khái niệm phân số ra đời đă giúp ích rất nhiều cho đời sống hàng ngày của người Ai Cập, chẳng hạn như phân chia lương thực hay tiền công cho những người tham gia xây dựng kim tự tháp.
Nhưng có một điều kỳ lạ mà bạn chưa biết: Phân số của người Ai Cập hiếm khi có tử số lớn hơn 1, gần như tất cả các phân số mà họ sử dụng đều có dạng 1/x. Ví dụ, nếu người Ai Cập cổ đại có một xô nước đầy tới 3/5, họ không bao giờ chia xô nước thành 5 phần và nói nó đă đầy tới 3 phần.
Thay vào đó, người Ai Cập cổ đại thấy xô nước đó đă đầy một nửa, cộng thêm 1 phần 10. Và đúng thật: ½ 1/10 = 3/5.
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-2-16486597479361775107 076.jpeg
Lư do tại sao người Ai Cập sử dụng một hệ thống phân số chỉ có tử bằng 1 không rơ ràng. Nhưng kỳ diệu thay, hệ thống đó lại tỏ ra vô vùng hữu ích. Hăy lấy một ví dụ: Một người quản công ở kim tự tháp cần chia 6 chiếc bánh ḿ cho 6 dân phu. Nhưng hôm nay, người phát lương nói họ chỉ c̣n 5 chiếc bánh ḿ cuối cùng. Làm thế nào để chia đều được 5 chiếc bánh ḿ đó?
Nếu sử dụng phân số 5/6, bạn sẽ phải cắt mỗi chiếc bánh thành 6 phần bằng nhau, sau đó, mỗi dân phu sẽ nhận 5 phần. Nhưng người Ai Cập cổ đại lại áp dụng một cách tính đơn giản hơn với 5/6 =1/2 1/3.
Như vậy, bạn sẽ chỉ cần cắt đôi 3 cái bánh, và cắt 2 cái bánh c̣n lại, mỗi cái ra làm ba. Vậy là mỗi người dân phu sẽ nhận 1 nửa cái bánh và 1/3 cái nữa. Quả là thông minh phải không?
Người Ai Cập cổ đại nhận ra họ luôn có thể chia một chiếc bánh ra thành các phần, mà đại diện cho nó là một tập hợp các phân số có tử số là 1. Ví dụ: 1= 1/2 1/3 1/6. Nhưng cũng có thể 1=1/2 1/3 1/7 1/42. 1= 1/2 1/3 1/12 1/18 1/36 như h́nh vẽ dưới đây:
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-3-16486597489632846304 22.jpeg
Thực tế này được các nhà toán học Paul Erdős và Ronald Graham đúc kết thành một bài toán trong thập niên 1970: Nếu cho bạn một tập hợp số nguyên dương tịnh tiến (nghĩa là số sau luôn lớn hơn số trước), chỉ cần tập hợp đủ lớn, bạn sẽ luôn t́m được một một tập hợp các số trong đó tổng nghịch đảo của chúng bằng 1:
Hăy lấy ví dụ về tập các số chẵn liên tiếp xem {2,4,6,8,10,12,…}. Ồ không phải đếm nữa, chúng ta đă có 2,4,6 và 12: 1/2 1/4 1/6 1/12 =1.
Giờ với tập các số lẻ liên tiếp {1,3,5,7,9,11,13,15, 17…} hơi mất công một chút nhưng kỳ diệu không, cho bạn bấm máy tính th́:
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-4-16486597479651745957 895.jpeg
Bài toán đơn giản là vậy, nhưng chứng minh nó luôn đúng th́ không dễ chút nào. Carl Pomerance một nhà toán thọc đến từ Đại học Dartmouth cho biết: "Đây có thể là bài toán lâu đời nhất trong lịch sử nhân loại từ trước đến nay".
"Tôi nghĩ lời giải cho bài toán này là bất khả thi, sẽ không ai có thể t́m ra được. Chính tôi cũng không thấy có bất kỳ hướng tiếp cận rơ ràng nào để giải nó", Andrew Granville, một nhà toán học đến từ Đại học Montreal cho biết thêm.
Nhưng bất ngờ thay, mới đây có một nhà toán học tại Đại học Oxford, Anh Quốc tên là Thomas Bloom đă giải quyết được nó theo một cách vô cùng đơn giản. Bloom lần đầu tiên đọc được bài toán này hồi tháng 9 năm ngoái trong một bài báo đă 20 năm tuổi.
Bài báo đó thuộc về một nhà toán học tên là Ernie Croot, người đă giải được cái gọi là phiên bản tô màu của bài toán Erdős-Graham. Ở đó, toàn bộ các con số được sắp xếp ngẫu nhiên vào các nhóm khác nhau được chỉ định bằng màu sắc: Một số ở nhóm màu xanh, số khác ở nhóm màu đỏ, v.v.
Erdős và Graham đă dự đoán rằng cho dù có bao nhiêu nhóm khác nhau được sử dụng trong việc sắp xếp này, th́ ít nhất một nhóm phải chứa một tập con các số nguyên có tổng nghịch đảo bằng 1.
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-5-16486597485061385480 256.jpeg
Nhưng lời giải của Croot cần phải dùng đến một loạt các phương pháp toán học phức tạp như phân tích điều ḥa - một nhánh của toán học liên quan chặt chẽ đến phép tính toán - để xác nhận dự đoán của Erdős-Graham. Bài báo của ông đă được xuất bản trong Biên niên sử Toán học, một tạp chí hàng đầu trong lĩnh vực này - chính là bài báo mà Bloom đă đọc.
Ngoài ra, khi sắp xếp các số vào các nhóm, Croot muốn tránh các số tổng hợp có thừa số nguyên tố lớn. Số nghịch đảo của những số đó có xu hướng cộng vào các phân số có mẫu số lớn thay v́ giảm thành các phân số đơn giản hơn, dễ kết hợp hơn để tạo thành 1.
V́ vậy, Croot đă chứng minh rằng nếu một tập hợp có đủ nhiều số với nhiều thừa số nguyên tố tương đối nhỏ th́ nó phải luôn chứa một tập hợp con có các nghịch đảo thêm vào 1. Điều này đủ để chứng minh bài toán Erdős-Graham phiên bản tô màu.
Nhưng trong phiên bản tổng quát hơn của nó, các nhà toán học không thể chỉ đơn giản chọn ra những mảng màu thuận tiện nhất. Họ có thể phải t́m lời giải cho những mảng màu không chứa số nào có thừa số nguyên tố nhỏ — trong trường hợp đó, phương pháp của Croot không hoạt động:
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-6-16486597474784502750 95.jpeg
Phải đợi đến bây giờ là hai thập kỷ sau, khi Bloom nh́n lại bài toán và cách giải của Croot, anh mới nhận ra ḿnh có thể phát triển kỹ thuật mà Croot đă giới thiệu trong một phiên bản đơn giản nhưng tổng quát hơn.
Bloom nói: "Tôi nghĩ, chờ đă, phương pháp của Croot thực sự mạnh hơn so với tưởng tượng ban đầu. V́ vậy, tôi đă nghiên cứu nó trong vài tuần, và kết quả là lời giải tốt hơn này đă ra đời".
Chứng minh của Croot dựa trên một dạng tích phân được gọi là tổng hàm mũ. Đó là một biểu thức có thể phát hiện có bao nhiêu nghiệm nguyên cho một bài toán — trong trường hợp này, có bao nhiêu tập hợp con chứa tổng các phân số đơn vị bằng 1.
Bloom đă điều chỉnh chiến lược của Croot để nó hoạt động với các số có thừa số nguyên tố lớn, chỉ đơn giản bằng cách chia 1 ra thành các phân số nhỏ như 3 lần 1/3. Bây giờ, thay v́ bài toán là đi t́m tổng các phân số có tử bằng 1 và tổng bằng 1, nó trở thành t́m 3 tổng các phân số có tử bằng 1 và tổng bằng 1/3.
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-7-16486597480211782586 534.jpeg
Sau đó, Bloom chỉ đơn giản là lặp lại phương pháp của Croot mà giờ không cần bỏ qua các số nguyên có thừa số nguyên tố lớn nữa. Phương pháp của Bloom cho phép anh ta kiểm soát tốt hơn các phần đó của tổng hàm mũ, và miễn là một tập hợp chứa một phân số nhỏ nhưng dăy số là đủ lớn— bất kể phân số đó nhỏ cỡ nào— th́ luôn không thể tránh khỏi việc t́m ra những tổng bằng chính phân số đơn vị đó.
"Đây là một lời giải xuất sắc", Izabella Łaba, một nhà toán học đến từ Đại học British Columbia cho biết: "Lư thuyết số tổ hợp và phân tích đă phát triển rất nhiều trong 20 năm qua. Điều đó cho phép chúng ta quay lại bài toán cũ với một góc nh́n mới và với những cách giải hiệu quả hơn".
Với lời giải mới của ḿnh, Bloom bây giờ đă chứng minh được hoàn chỉnh một bài toán có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại. Nhưng đây vẫn chưa phải kết thúc của câu chuyện kéo dài hơn 4.000 năm.
Bloom cho biết bài toán vẫn có thể tiếp tục phát triển bởi lư thuyết số hiện đại vẫn đang phát triển. "Tôi hiện đang làm việc để chính thức hóa bằng chứng trong Lean, cái được gọi là 'trợ lư bằng chứng'," ông nói. "Đây là một lĩnh vực mới thú vị, nơi chúng ta có máy tính để kiểm tra chính thức các bằng chứng ở mức độ nghiêm ngặt hơn nhiều so với toán học cơ bản của con người".
Một bài toán mới sẽ được đặt ra trong đó: Liệu bạn có thể t́m được một tập hợp số dương vô hạn nào đó, mà không thể t́m được bất kỳ nhóm nghịch đảo thành phần nào của nó có tổng bằng 1 hay không?
Có thể bạn đă biết, khoảng 2000 năm Trước Công Nguyên, người Ai Cập cổ đại là những người đầu tiên sử dụng khái niệm phân số. Họ kư hiệu nó bằng một chữ cái tượng h́nh, giống một con mắt không có tṛng. Ví dụ như:
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-1-16486597457227865381 81.png
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-1-16486597474534097611 29.jpeg
Khái niệm phân số ra đời đă giúp ích rất nhiều cho đời sống hàng ngày của người Ai Cập, chẳng hạn như phân chia lương thực hay tiền công cho những người tham gia xây dựng kim tự tháp.
Nhưng có một điều kỳ lạ mà bạn chưa biết: Phân số của người Ai Cập hiếm khi có tử số lớn hơn 1, gần như tất cả các phân số mà họ sử dụng đều có dạng 1/x. Ví dụ, nếu người Ai Cập cổ đại có một xô nước đầy tới 3/5, họ không bao giờ chia xô nước thành 5 phần và nói nó đă đầy tới 3 phần.
Thay vào đó, người Ai Cập cổ đại thấy xô nước đó đă đầy một nửa, cộng thêm 1 phần 10. Và đúng thật: ½ 1/10 = 3/5.
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-2-16486597479361775107 076.jpeg
Lư do tại sao người Ai Cập sử dụng một hệ thống phân số chỉ có tử bằng 1 không rơ ràng. Nhưng kỳ diệu thay, hệ thống đó lại tỏ ra vô vùng hữu ích. Hăy lấy một ví dụ: Một người quản công ở kim tự tháp cần chia 6 chiếc bánh ḿ cho 6 dân phu. Nhưng hôm nay, người phát lương nói họ chỉ c̣n 5 chiếc bánh ḿ cuối cùng. Làm thế nào để chia đều được 5 chiếc bánh ḿ đó?
Nếu sử dụng phân số 5/6, bạn sẽ phải cắt mỗi chiếc bánh thành 6 phần bằng nhau, sau đó, mỗi dân phu sẽ nhận 5 phần. Nhưng người Ai Cập cổ đại lại áp dụng một cách tính đơn giản hơn với 5/6 =1/2 1/3.
Như vậy, bạn sẽ chỉ cần cắt đôi 3 cái bánh, và cắt 2 cái bánh c̣n lại, mỗi cái ra làm ba. Vậy là mỗi người dân phu sẽ nhận 1 nửa cái bánh và 1/3 cái nữa. Quả là thông minh phải không?
Người Ai Cập cổ đại nhận ra họ luôn có thể chia một chiếc bánh ra thành các phần, mà đại diện cho nó là một tập hợp các phân số có tử số là 1. Ví dụ: 1= 1/2 1/3 1/6. Nhưng cũng có thể 1=1/2 1/3 1/7 1/42. 1= 1/2 1/3 1/12 1/18 1/36 như h́nh vẽ dưới đây:
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-3-16486597489632846304 22.jpeg
Thực tế này được các nhà toán học Paul Erdős và Ronald Graham đúc kết thành một bài toán trong thập niên 1970: Nếu cho bạn một tập hợp số nguyên dương tịnh tiến (nghĩa là số sau luôn lớn hơn số trước), chỉ cần tập hợp đủ lớn, bạn sẽ luôn t́m được một một tập hợp các số trong đó tổng nghịch đảo của chúng bằng 1:
Hăy lấy ví dụ về tập các số chẵn liên tiếp xem {2,4,6,8,10,12,…}. Ồ không phải đếm nữa, chúng ta đă có 2,4,6 và 12: 1/2 1/4 1/6 1/12 =1.
Giờ với tập các số lẻ liên tiếp {1,3,5,7,9,11,13,15, 17…} hơi mất công một chút nhưng kỳ diệu không, cho bạn bấm máy tính th́:
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-4-16486597479651745957 895.jpeg
Bài toán đơn giản là vậy, nhưng chứng minh nó luôn đúng th́ không dễ chút nào. Carl Pomerance một nhà toán thọc đến từ Đại học Dartmouth cho biết: "Đây có thể là bài toán lâu đời nhất trong lịch sử nhân loại từ trước đến nay".
"Tôi nghĩ lời giải cho bài toán này là bất khả thi, sẽ không ai có thể t́m ra được. Chính tôi cũng không thấy có bất kỳ hướng tiếp cận rơ ràng nào để giải nó", Andrew Granville, một nhà toán học đến từ Đại học Montreal cho biết thêm.
Nhưng bất ngờ thay, mới đây có một nhà toán học tại Đại học Oxford, Anh Quốc tên là Thomas Bloom đă giải quyết được nó theo một cách vô cùng đơn giản. Bloom lần đầu tiên đọc được bài toán này hồi tháng 9 năm ngoái trong một bài báo đă 20 năm tuổi.
Bài báo đó thuộc về một nhà toán học tên là Ernie Croot, người đă giải được cái gọi là phiên bản tô màu của bài toán Erdős-Graham. Ở đó, toàn bộ các con số được sắp xếp ngẫu nhiên vào các nhóm khác nhau được chỉ định bằng màu sắc: Một số ở nhóm màu xanh, số khác ở nhóm màu đỏ, v.v.
Erdős và Graham đă dự đoán rằng cho dù có bao nhiêu nhóm khác nhau được sử dụng trong việc sắp xếp này, th́ ít nhất một nhóm phải chứa một tập con các số nguyên có tổng nghịch đảo bằng 1.
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-5-16486597485061385480 256.jpeg
Nhưng lời giải của Croot cần phải dùng đến một loạt các phương pháp toán học phức tạp như phân tích điều ḥa - một nhánh của toán học liên quan chặt chẽ đến phép tính toán - để xác nhận dự đoán của Erdős-Graham. Bài báo của ông đă được xuất bản trong Biên niên sử Toán học, một tạp chí hàng đầu trong lĩnh vực này - chính là bài báo mà Bloom đă đọc.
Ngoài ra, khi sắp xếp các số vào các nhóm, Croot muốn tránh các số tổng hợp có thừa số nguyên tố lớn. Số nghịch đảo của những số đó có xu hướng cộng vào các phân số có mẫu số lớn thay v́ giảm thành các phân số đơn giản hơn, dễ kết hợp hơn để tạo thành 1.
V́ vậy, Croot đă chứng minh rằng nếu một tập hợp có đủ nhiều số với nhiều thừa số nguyên tố tương đối nhỏ th́ nó phải luôn chứa một tập hợp con có các nghịch đảo thêm vào 1. Điều này đủ để chứng minh bài toán Erdős-Graham phiên bản tô màu.
Nhưng trong phiên bản tổng quát hơn của nó, các nhà toán học không thể chỉ đơn giản chọn ra những mảng màu thuận tiện nhất. Họ có thể phải t́m lời giải cho những mảng màu không chứa số nào có thừa số nguyên tố nhỏ — trong trường hợp đó, phương pháp của Croot không hoạt động:
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-6-16486597474784502750 95.jpeg
Phải đợi đến bây giờ là hai thập kỷ sau, khi Bloom nh́n lại bài toán và cách giải của Croot, anh mới nhận ra ḿnh có thể phát triển kỹ thuật mà Croot đă giới thiệu trong một phiên bản đơn giản nhưng tổng quát hơn.
Bloom nói: "Tôi nghĩ, chờ đă, phương pháp của Croot thực sự mạnh hơn so với tưởng tượng ban đầu. V́ vậy, tôi đă nghiên cứu nó trong vài tuần, và kết quả là lời giải tốt hơn này đă ra đời".
Chứng minh của Croot dựa trên một dạng tích phân được gọi là tổng hàm mũ. Đó là một biểu thức có thể phát hiện có bao nhiêu nghiệm nguyên cho một bài toán — trong trường hợp này, có bao nhiêu tập hợp con chứa tổng các phân số đơn vị bằng 1.
Bloom đă điều chỉnh chiến lược của Croot để nó hoạt động với các số có thừa số nguyên tố lớn, chỉ đơn giản bằng cách chia 1 ra thành các phân số nhỏ như 3 lần 1/3. Bây giờ, thay v́ bài toán là đi t́m tổng các phân số có tử bằng 1 và tổng bằng 1, nó trở thành t́m 3 tổng các phân số có tử bằng 1 và tổng bằng 1/3.
https://sohanews.sohacdn.com/160588918557773824/2022/3/31/photo-7-16486597480211782586 534.jpeg
Sau đó, Bloom chỉ đơn giản là lặp lại phương pháp của Croot mà giờ không cần bỏ qua các số nguyên có thừa số nguyên tố lớn nữa. Phương pháp của Bloom cho phép anh ta kiểm soát tốt hơn các phần đó của tổng hàm mũ, và miễn là một tập hợp chứa một phân số nhỏ nhưng dăy số là đủ lớn— bất kể phân số đó nhỏ cỡ nào— th́ luôn không thể tránh khỏi việc t́m ra những tổng bằng chính phân số đơn vị đó.
"Đây là một lời giải xuất sắc", Izabella Łaba, một nhà toán học đến từ Đại học British Columbia cho biết: "Lư thuyết số tổ hợp và phân tích đă phát triển rất nhiều trong 20 năm qua. Điều đó cho phép chúng ta quay lại bài toán cũ với một góc nh́n mới và với những cách giải hiệu quả hơn".
Với lời giải mới của ḿnh, Bloom bây giờ đă chứng minh được hoàn chỉnh một bài toán có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại. Nhưng đây vẫn chưa phải kết thúc của câu chuyện kéo dài hơn 4.000 năm.
Bloom cho biết bài toán vẫn có thể tiếp tục phát triển bởi lư thuyết số hiện đại vẫn đang phát triển. "Tôi hiện đang làm việc để chính thức hóa bằng chứng trong Lean, cái được gọi là 'trợ lư bằng chứng'," ông nói. "Đây là một lĩnh vực mới thú vị, nơi chúng ta có máy tính để kiểm tra chính thức các bằng chứng ở mức độ nghiêm ngặt hơn nhiều so với toán học cơ bản của con người".
Một bài toán mới sẽ được đặt ra trong đó: Liệu bạn có thể t́m được một tập hợp số dương vô hạn nào đó, mà không thể t́m được bất kỳ nhóm nghịch đảo thành phần nào của nó có tổng bằng 1 hay không?