Toán Thơ, Thơ Toán trong Dân Gian

[florida80]

Có những người không thích Toán cho mấy, nên đã phán rằng Toán Học là khô khan, vì những đẳng thức, phương trình gồm toàn những ký hiệu cộng trừ nhân chia…, thậm chí có cả những ký hiệu ” , $ …, cùng những số và chữ cái a, b, c, x, y, z, a, b, d, e, l, m …; ngoài ra có những danh từ kỹ thuật, nếu không học Toán, thì không biết đến, như “Nhóm”, “Vòng”, “Thân”, “Không gian vectơ”, “Độc lập tuyến tính”… Có lẽ vì vậy mà những người yêu Toán lại đặt ra những bài thơ nhí nhảnh để giới thiệu những bài toán vui, hay để tỏ con tim của họ cũng rung động “không biết mấy chu kỳ” trước một sắc đẹp, trước một bài văn hay, trước một câu thơ tuyệt tác…

Những bài Toán Thơ, Thơ Toán trong dân gian và những tác phẩm của những người yêu Toán đã chứng minh điều đó.

Thơ Toán trong dân gian, cũng như Ca Dao, Tục Ngữ là những bài, những câu thơ tuyệt tác, khó mà trau chuốt lại được, nếu không muốn mất đi tính chất bình dân và độc đáo của chúng. Cũng như Ca Dao, Tục Ngữ, Thơ Toán Bình Dân đã trải qua thời gian, từ thế hệ nầy qua thế hệ khác; đã trải qua không gian, từ miền nầy qua miền khác, nên đã được dân gian sửa chữa để biến thành kiệt tác bất hủ mà truyền lại cho đời sau. Vì vậy Thơ Toán cũng như Ca Dao, Tục Ngữ không có tác giả, mà tác giả là toàn thể đại chúng của các thế hệ trước.

Chúng ta hãy nghe một câu Đố Ca Dao:

Mặt em phương tượng chữ điền,
Da em thì trắng, áo đen mặc ngoài.
Lòng em có đất, có trời,
Có câu nhân nghĩa, có lời hiếu trung.
Dù khi quân tử có dùng,
Thì em sẽ ngỏ tấm lòng cho xem.

Tục Ngữ – Phong Dao. Nguyễn Văn Ngọc.
(Mặc Lâm. Yiễm Yiễm Thư Quán. Sàigòn 1967)

(Đáp: Cuốn Sách).

Và một bài thơ Toán Dân Gian, cũng là một câu Đố Ca Dao nhí nhảnh:

Yêu nhau cau sáu bổ ba,
Ghét nhau cau sáu bổ ra làm mười.
Mỗi người một miếng trăm người,
Có mười bảy quả hỏi người ghét yêu.

Nguyễn Trọng Báu
(Giai thoại chữ và nghĩa)

(Ý bài toán: Có tất cả 17 quả cau được chia ra làm hai phần. Mỗi quả trong phần thứ nhất được bổ ra làm 3 miếng. Mỗi quả trong phần thứ hai được bổ ra làm 10 miếng. Có tất cả 100 người, mỗi người chỉ ăn một miếng. Hỏi có mấy người ăn được cau bổ ba, mấy người ăn được cau bổ mười.)

(Đáp: 30 người ăn cau bổ ba, 70 người ăn cau bổ mười).

Trong bài viết nầy, tôi chỉ cho đáp số, mà không cho lời giải, cách giải, vì thấy nó vô duyên, không hợp với đề tài chính là Thơ Toán trong Dân Gian. Mặt khác, một số lớn độc giả đã không sử dụng Toán Học cả hàng chục năm và cũng có một số độc giả không theo đuổi Toán học, vì vậy mà tôi không muốn buộc độc giả vào những kỹ thuật Toán Học vô ích. Vả chăng, muốn giải những bài Thơ Toán trong bài viết nầy, chỉ cần có trình độ Trung học.

Chúng ta tiếp tục với những bài Thơ Toán Dân Gian tinh nghịch, trào lộng và đôi khi cả trử tình…

Một câu Ca Dao nói một chàng trai tỏ tình. Lời rất bâng quơ, hư hư thực thực:

Đường đi thì thật là xa,
Mượn mình làm mối cho ta một người.
Một người mười tám đôi mươi,
Một người vừa đẹp, vừa tươi như mình…
Nếu cô nàng ưng ý, thì e lệ thưa:
Anh đà có vợ con chưa?
Mà anh ăn nói gió đưa ngọt ngào.
Mẹ già anh ở nơi nao?
Để em tìm vào hầu hạ thay anh.
Chẳng tham nhà ngói rung rinh,
Tham về một nỗi anh xinh miệng cười.
Miệng cười anh đáng mấy mươi,
Chân đi đáng nén, miệng cười đáng trăm…

Nhưng nếu cô nàng không vừa ý, thì đanh đá, giễu cợt để tỏ khéo sự từ chối của mình:

Bao giờ cho chuối có cành,
Cho sung có nụ, cho hành có hoa (1).
Bao giờ chạch đẻ ngọn đa,
Sáo đẻ dưới nước thì ta theo mình…

Văn Học Việt Nam. Phạm Văn Diêu.
(Tân Việt Sàigòn 1960).

(1) Thật ra, cây hành để già thì có hoa.

Hay cô nàng có thể cắc cớ, ra một bài Thơ Toán:

Em là con gái nhà nghèo,
Mẹ cha chết hết, nằm queo một mình.
Nhà em vách lá lợp mành,
Trời mưa nhà dột, ướt mình loi ngoi.
Láng giềng có kẻ sang chơi,
Thương tình mới rủ mọi người giúp không.
Xây lầu, hồ nước, vườn bông,
Muối dưa sá quản miễn lòng thảo thơm.
Ba người ăn một bát cơm,
Bốn người ăn đĩa mắm thơm muối cà.
Bát đĩa em đã dọn ra,
Ba trăm một cái, làm nhà mấy ông?
Tiếng chàng ăn học đã thông,
Nếu mà đáp trúng, em xin… theo không chàng về.

Kiến Thức Ngày Nay. 1997.

Bài Toán Dân Gian rất hay về mặt văn chương, cũng như về mặt ý thức, không kém câu Ca Dao trên. Bài rất nhí nhảnh buộc người muốn giải phải suy nghĩ nhiều.

(Ý bài toán: Có một số người xây nhà. Cứ ba người ăn một bát cơm và cứ bốn người ăn một đĩa mắm. Số bát đĩa cả thảy là 301 cái. Hỏi có tất cả mấy người xây nhà).

(Đáp: 516 người).

Một câu Đố Ca Dao:

Hai anh mà ở hai buồng,
Không ai hỏi đến, ra tuồng cấm cung.
Đêm thời đóng cửa gài chông,
Ngày thời mở cửa lại trông ra ngoài.

Tục Ngữ – Phong Dao. Nguyễn Văn Ngọc
(Mặc Lâm. Yiễm Yiễm Thư Quán. Sàigòn 1967)

(Đáp: Hai con mắt).

Một câu Thơ Toán:

Vừa gà vừa chó,
Bó lại cho tròn.
Ba mươi sáu con,
Một trăm chân chẵn.

Bạn bè trao cho nhau lúc học Trung học tại Huế.

(Ý bài toán: Gà và chó có tất cả 36 con. Nếu đếm chân gà lẫn chân chó, thì có tất cả là 100 cái. Hỏi có mấy con chó và mấy con gà).

(Đáp: 14 con chó và 22 con gà).

Hay:

Trâu đứng ăn năm.
Trâu nằm ăn ba.
Lụm khụm trâu già,
Ba con một bó.
Trăm trâu ăn cỏ.
Trăm bó no nê.
Hỏi đến giảng đề,
Ngô nghê như điếc.

Bạn bè trao cho nhau lúc học Trung học tại Huế.

Bài toán không khó. 3 ẩn số phải có 3 điều kiện độc lập. Phần nhiều 3 điều kiện độc lập được dựng bởi 3 phương trình độc lập. Cái “Ngô nghê như điếc” ở đây là chỉ có 2 điều độc lập có thể dựng bởi 2 phương trình độc lập, còn điều kiện thứ ba không phải là một phương trình mà là số nguyên dương mà nhiều người không để ý đến.

(Ý bài toán: Có một trăm con trâu ăn hết một trăm bó cỏ. Mỗi con trâu đứng ăn đưọc năm bó. Mỗi con trâu nằm ăn được ba bó và ba con trâu già thì chia nhau chỉ ăn đưọc một bó. Hỏi có bao nhiêu con trâu đứng, bao nhiêu con trâu nằm và bao nhiêu con trâu già).

(Đáp: 4 trâu đứng, 18 trâu nằm, 78 trâu già; hay 8 trâu đứng, 11 trâu nằm, 81 trâu già; hay 12 trâu đứng, 4 trâu nằm, 84 trâu già).


Hay:

Mùa xuân nghe tiếng trống thì thùng,
Người ùa vây kín cả đình đông.
Tranh nhau đánh đấm đòi mâm lớn,
Tiên chỉ hò la để chỗ ông.
Bốn người một cỗ thừa một cỗ,
Ba người một cỗ bốn người không.
Ngoài đình chè chén bao người nhỉ,
Tính thử xem rằng có mấy ông?

Nguyễn Trọng Báu
(Giai thoại chữ và nghĩa).

(Ý bài toán: Đề bài thơ đã rõ).

(Đáp: 40 người).

Đôi khi còn có Thơ Toán Dân Gian bằng chữ Hán, như giai thoại sứ Việt giải toán vua Trung Quốc:

一隻一隻又一隻
三四,五六,七八隻
鳳凰何少鳥何多
食盡人間千萬石

Nhất chích, nhất chích hựu nhất chích
Tam tứ, ngũ lục, thất bát chích
Phượng hoàng hà thiểu, điểu hà đa
Thực tận nhân gian thiên vạn thạch.

Một con, một con, lại một con
Ba bốn, năm sáu, bảy tám con
Phượng Hoàng sao ít, Sẻ sao nhiều
Ăn của nhân gian nghìn vạn hộc.

Nguyễn Trọng Báu
(Giai thoại chữ và nghĩa).

(Ý bài toán: Có một bức tranh thêu 100 chim Sẻ và một con Phượng Hoàng. Vua Trung Quốc truyền Sứ Việt đặt toán ra mà tính cho được số 100 chim Sẻ và 1 Phượng Hoàng).

(Đáp: 1 + 1 + 1 = 3; (3 x 4) + (5 x 6) + (7 x 8 ) = 98; 3 + 98 = 101; 100 chim Sẻ và 1 Phượng Hoàng).

Hay bài giai thoại ” Điểm Binh của Tôn Tử “:

三人同行七十嬉
五樹梅花廿一枝
七子桃園秋半月
共除百零五定為其

Tam nhân đồng hành thất thập hy,
Ngũ thụ mai hoa trấp nhất chi,
Thất tử đào viên thu bán nguyệt,
Cọng (cộng) trừ bách linh ngũ, định vi kỳ.

Tạm dịch:

Ba người cùng đi đường, thì vui gấp bảy mươi lần,
Năm cây hoa Mai có hai mươi mốt nhánh,
Bảy chàng dạo chơi vườn Đào vào giữa tháng của mùa Thu,
Thêm hay bớt một trăm lẻ năm để định đáp số.

Bạn bè trao cho nhau lúc học Trung học tại Huế.

Tôi để hai chữ “Tôn Tử” trong dấu ngoặc kép, vì tôi không có tài liệu nào trong tay để quyết đoán bài thơ “Điểm Binh” trên là của Tôn Tử.

(Ý bài nầy là “Tôn Tử” biết chừng chừng số binh của mình. Muốn biết số binh chính xác, thì:

– Làm dấu hiệu thứ nhất – như phất một lần cây cờ – thì cứ 3 người lính đứng lại thành một nhóm, số lính còn lại không lập được một nhóm là 0, 1 hoặc 2 người ; số nầy sẽ nhân với 70.

– Làm dấu hiệu thứ hai, thì cứ 5 người lính đứng lại thành một nhóm, số lính còn lại không lập được một nhóm là 0, 1, 2, 3 hoặc 4 người ; số nầy sẽ nhân cho 21.

– Làm dấu hiệu thứ ba, thì cứ 7 người lính đứng lại thành một nhóm, số lính còn lại không lập được một nhóm là 0, 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 người ; số nầy sẽ nhân cho 15.

Cộng tất cả 3 số vừa được nhân ở trên, và nếu cần thì cọng thêm, hoặc trừ ra 105, để được số binh chính xác.).

Ví dụ: Số binh là 437, và “Tôn Tử” biết chừng chừng là khoảng 400.

– Nếu sắp 3 người thành một nhóm, thì lẻ ra 2 người,

– Nếu sắp 5 người thành một nhóm, thì lẻ ra 2 người,

– Nếu sắp 7 người thành một nhóm, thì lẻ ra 3 người.

Và: (2 x 70) + (2 x 21) + (3 x 15) + 105 + 105 = (140 + 42 + 45) + 210 = 227 + 210 = 437.

Cái hay ở đây là chỉ dùng có 3 động tác đơn sơ và chỉ trong vài ba phút mà “Tôn Tử” đã biết được số binh chính xác của mình.

Chuyện bài toán trên là Phép Chia Euclide (1) về Số Học trong Tập Hợp Số Nguyên Z. Vậy ta có thể thay những số 3, 5, 7; 70, 21, 15; 105, trên, bằng những nhóm số khác như 2, 3, 5; 15, 10, 6; 30; hay 3, 5, 11; 55, 66, 45; 165 ; vân vân, nhưng theo tôi nhóm số 3, 5, 7; 70, 21, 15; 105 trên vẫn đơn giản hơn nhiều.

Ví dụ với nhóm số 2, 3, 5; 15, 10, 6; 30:

Cũng lấy số binh trên 437.

– Nếu xếp 2 người thành một nhóm, thì lẻ ra 1 người,

– Nếu xếp 3 người thành một nhóm, thì lẻ ra 2 người,

– Nếu xếp 5 người thành một nhóm, thì lẻ ra 2 người.

Và (1 x 15) + (2 x 10) + (2 x 6) + (13 x 30) = (15 + 20 + 12) + 390 = 47 + 390 = 437.

Ở đây 47 phải cọng thêm 13 lần 30, (13 x 30 = 390).

Và bài thơ ” Điểm Binh ” có thể như sau (do tôi dựa vào bài trên mà đặt ra):

Song phi đồng hành thập ngũ hy,
Tam thụ mai hoa hữu thập chi,
Ngũ tử đào viên du lục nguyệt,
Cộng, trừ tam thập định vi kỳ.

Dịch:

Vợ chồng cùng đi với nhau, thì vui mười lăm lần hơn,
Ba cây hoa Mai có mười nhánh,
Năm chàng dạo chơi vườn Đào vào tháng sáu,
Thêm hay bớt ba mươi để định đáp số.

Hay với nhóm số 3, 5, 11; 55, 66, 45; 165:

Cũng lấy số binh trên 437.

– Nếu xếp 3 người thành một nhóm, thì lẻ ra 2 người,

– Nếu xếp 5 người thành một nhóm, thì lẻ ra 2 người,

– Nếu xếp 11 người thành một nhóm, thì lẻ ra 8 người.

Và (2 x 55) + (2 x 66) + (8 x 45) – 165 = (110 + 132 + 360) – 165 = 602 – 165 = 437.

Ở đây, nếu phải xếp 11 người thành một nhóm, e khó khăn cho binh sĩ nhiều, vì 11 người là một số khá lớn. Cũng vì thế mà nhóm số 3, 5, 7; 70, 21, 15; 105 là đơn giản nhất.

Nếu bài “Điểm Binh của Tôn Tử” đã có từ thời Tôn Tử, khoảng năm 550 trước Công Nguyên, thì trình độ Toán Học của người xua quả đã là cao lắm.

(1): Theo một số nhà Toán Học hiện đại Euclide (Εὐκλείδη) là tên một nhóm Toán Học gia ở Alexandrie, vào khoảng năm 300 trước Công Nguyên, cũng như Nicolas Bourbaki là tên của nhóm Toán Học gia nguời Pháp lập tại Besse-et-Saint-Anastaise (Besse-en-Chandesse) vào năm 1935.

Đây chỉ là một vài bài Thơ Toán Dân Gian, tất nhiên còn cả hàng trăm hàng ngàn bài khác. Ngoài ra còn có những người dùng danh từ Toán Học để làm thơ. Trong những bài dưới đây, tôi viết đậm những danh từ Toán Học để nhận thấy rõ ràng.

Ở trên mạng internet có rất nhiều, như:

Phương trình nào đưa ta về chung lối
Định lý nào sao vẫn mãi ngăn đôi
Biến số yêu nên tình mãi hai nơi
Điểm vô cực làm sao ta gặp được
….

Vô danh, tìm được trên mạng Internet.

Lúc tôi còn học ở Quốc Học, các bạn đã chép cho một bài thơ rất nỗi tiếng thời bấy giờ ở Huế. Chuyện là có một đàn anh tên “Khiết” (có lẽ là bút hiệu) học cùng trường đã “si” một “O” cùng lớp tên “Cầm” (Cầm 琴 nghĩa là Đàn trong tiếng Việt) đã dùng danh từ Toán Học làm bài thơ rất trữ tình:

Tình Toán Pháp

Hởi Đàn (1) ơi ! quỹ tích của âm thanh,
Thuở song song trong khung cảnh bình hành (2),
Trong không gian đồng quy âu yếm hẹn.
Hai ta là một đẳng thức e thẹn,
Sống bên nhau hai vế một phương trình,
Đợi ngày anh sung sướng chứng minh,
Anh nhớ em muôn đời làm định lý.
Phần phản đề, xin em đừng đãng trí (3),
Lại gần đây dù một ép-xi-lon. (epsilon) (4)
Ở bên kia giới hạn anh buồn,
Anh thường liên tục nói luôn,
Số em âm, em ngại gì vô tỷ (5),
Cực (6) lòng anh là một kẻ tình si,
Tim anh rung không biết mấy chu kỳ…

Yết-Khanh (lái lại thành Anh Khiết).

(1) rất tế nhị, không muốn gọi thẳng tên Cầm mà chỉ gọi Đàn, cho khỏi đường đột.
(2) học cùng một lớp.
(3) định lý: “anh nhớ em muôn đời”. Phản đề: “em nhớ anh muôn đời”. Thật là kín đáo.
(4) số vô cùng nhỏ.
(5) mượn danh từ Toán, nhưng ở đây có ý nói không cần tỷ mẩn (e dè từng chi tiết nhỏ)?
(6) mượn danh từ Toán, nhưng ở đây có nghĩa là khổ tâm.

Hay một bài kém hơn nhiều, nhưng do một học sinh 14 tuổi, lớp Đệ Ngũ (lớp 8), bạn cùng lớp với cô em gái của tôi, tại trường Trung Học Đệ Nhất Cấp Bồ Đề ở Huế, làm ra:

Tình Hoa Toán

Ai định nghĩa được lệ hoa man mát,
Xoay chiều nào cho thuận mới tình ta.
Biên thiên gì để hiểu cảnh bao la,
Để giải đáp phương trình ai vương vấn.
Ở toạ độ, đùng cho hoa chất lớp,
Hảy xoay chiềucho hoa đẹp muôn phương.
Hảy đồng quyôi đôi má màu hường,
Hảy rút gọn đừng triệt tiêu, hoa nhé!
Hoa với tóc là hai đường giao tuyến,
Môi mỉm cười, em vẽ một cung vui.
Đường về xa, vô tận lắm bùi ngùi,
Không gian đấy, thời gian đây chấn động.
Kết hợp lấy để anh đừng vỡ mộng,
Em mơ màng, tung độ biến thiên anh.
Hỗn hợp đi bao giấc mộng an lành,
Tình vô nghiệm là tình hoa bất diệt.

Nùng-Lan.

Độc giả còn cho những người yêu Toán Học là “khô khan” nữa chăng?

Nguyễn Vĩnh-Tráng

lam toan tot cho dau oc ...